Grundlagen

In diesem Kapitel sollen die Grundlagen für die weiteren Überlegungen geschaffen werden. Dazu stelle ich im ersten Teil meiner Arbeit einige zentrale Begriffe vor. In diesem Zusammenhang werden die Begriffe ,,Polygon``, ,,Polygonzug``, ,,Bézierkurve``, ,,Konvex`` und der ,,Algorithmus von de Casteljau`` erläutert.

Da es in dieser Arbeit um die Approximation von Polygonzügen bzw. Polygonen durch Bézierkurven geht, gehören diese Begriffe zu den zentralen Elementen dieser Arbeit, so dass ihre Erläuterung als Basis für die weiteren Betrachtungen notwendig ist. Des Weiteren wird, für die in dieser Arbeit entwickelte Approximation, die Einteilung in konvexe und nicht konvexe Polygonzüge bzw. Polygone verwendet. Aus diesem Grund werden die Kriterien, nach denen die Einteilung erfolgt, verständlich gemacht. Um den Graphen einer Bézierkurve zu zeichnen, bietet sich der Algorithmus nach de Casteljau an. In den Gleichungen wird dieser Algorithmus verwendet um auf einfache Weise rekursiv die Formel für die Bézierkurve zu erhalten. Der Algorithmus wird hier vorgestellt, um die Aufstellung der Formeln transparent zu machen.

Bei diesen Erläuterungen beschränke ich mich auf den zweidimensionalen Raum, da die graphische Ausgabe und Speicherung ebenfalls in zweidimensionaler Form erfolgt. Der zweidimensionale Raum wird durch die Euklidischen Ebene, somit auf den $\mathbb{R}^2$ in Verbindung mit der Euklidischen Norm $\Vert x \Vert := \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ , repräsentiert.