Polygon

Nach der freien online Enzyklopädie Wikipedia wird ein Polygon wie folgt definiert:

Ein Polygon ist eine geschlossene Figur, die durch ein Tupel $\left( P_1, P_2, ... , P_n \right) ; P_i \in \mathbb{R}^m; 1 \le i \le n$ von $n$ Punkten (die Eckpunkte genannt werden) eindeutig definiert wird⁵.

Ein Polygon besteht somit aus endlich vielen Punkten $P_1$ bis $P_n$ die im $\mathbb{R}^m$ liegen. Die Zählung beginnt in der hier genutzten Form nicht bei 1 sondern bei 0 um die Erläuterung der Implementation zu vereinfachen. Des Weiteren wird die Dimension des Raumes, aus dem die Eckpunkte stammen, eingeschränkt auf die Euklidische Ebene, da die Speicherung im vektorgraphischen Format im Vordergrund steht.

Um Polygone darzustellen werden nicht nur die Punkte gezeichnet, sondern die Strecken zwischen den Punkten und zwar in der Reihenfolge, wie sie im Tupel festgelegt ist. Es werden somit auf Bildern, auf denen Polygone abgebildet sind, die Strecken $\overline {P_i P_{(i+1)\bmod n}}$ $\left(i=0, ..., n-1 \right)$ eingezeichnet⁶. Die Sammlung aller Strecken soll der Graph des Polygons genannt werden. Da dieser Graph geschlossen ist, ist ein Polygon entsprechend eine geschlossene Figur. Es ist ersichtlich, dass die Graphen zweier Polygone, bei denen das eine Polygon in das andere umgewandelt werden kann, indem die Punkte im Tupel beliebig zyklisch vertauscht werden oder die Reihenfolge umgekehrt wird, nicht unterscheidbar sind. Da das Approximieren von Polygonen für die graphische Darstellung verwendet werden soll, wird in den folgenden Überlegungen nicht zwischen solchen Polygonen unterschieden. Diese Polygone werden darum in Äquivalenzklassen zusammengefasst, wobei eine Klasse alle Polygone enthält die durch zyklische Vertauschung der Punkte oder Umkehrung der Reihenfolge ineinander überführt werden können. Wenn im Folgenden somit ein Polygon $\overline {P}$ genannt wird, ist die Äquivalenzklasse von $P$ gemeint.

Aus den vorangegangenen Überlegungen ergibt sich folgende Definition eines Polygons die im Weiteren verwendet wird:

Definition 1 (Polygon)
Ein Polygon ist durch ein Tupel $\left( P_0, P_1, ... , P_{n-1} \right)$ ; $P_i\in\mathbb{R}^2; 0\le i\le n-1$ von $n$ Punkten, die Eckpunkte genannt werden, eindeutig definiert.