Die Orte der Abstandsmessung

Eine elementare Bézierkurve ist hier eine Funktion $C : [0;1]\rightarrow \mathbb{R}^2$ . Ein Punkt dieser Bézierkurve ist somit festgelegt durch einen Parameter $x\in [0;1]$ (siehe Gleichung 1). Für die Berechnung einer elementaren Bézierkurve $C_i$ , werden zwei Abstände ermittelt, deren Orte der Messung durch zwei Parameter $x_1$ und $x_2$ festgelegt sind, die für jede Kante $K_i$ zwei Punkte $C_i(x_1)$ und $C_i(x_2)$ festsetzen. Da die zugehörigen Parameter $d_{i,1}$ und $d_{i,2}$ , die den Abstand zur Kante $K_i$ wiedergeben, nicht negativ sein dürfen, hat die Wahl der Werte der Parameter $x_1$ und $x_2$ folgenden Einfluss auf die Bézierkurve $C_i$ .

In den Abbildungen 31 sind vier Polygone und vier verschiedene Möglichkeiten der Wahl der Parameter $x_1$ und $x_2$ gegeben.

Abbildung 31: Beispiele für die Wahl der Parameter $x_1$ und $x_2$

In der ersten Abbildung haben die Parameter $x_1$ und $x_2$ den Wert Eins und Null. Das hat zur Folge, dass die Punkte $C_i(x_1)$ und $C_i(x_2)$ mit den Endpunkten der Bézierkurve identisch sind. Da die Parameter $d_{i,1}$ und $d_{i,2}$ nicht negativ werden dürfen, müssen sich diese Punkte mindestens auf der Kante $K_i$ befinden oder außerhalb des Polygons²⁵, was aber aufgrund der Parameter $t_i$ und $t_{i+1}$ nicht möglich ist, da diese nicht negativ sein dürfen. Somit ist die Bézierkurve, die berechnet wurde, die Anfangslösung des Optimierungsverfahrens. Dies kann aber nur bei konvexen Polygonen zu einer korrekten Approximation führen. Bei einem Polygonzug führt dies an den Endkanten zu einem nicht stetigen Übergang, da die Parameter $t_i$ in den Eckpunkten den Wert Null annehmen, was an den Endkanten nicht auftreten darf²⁶. Für Polygonzüge müssen die Parameter deshalb unbedingt ungleich Eins und Null sein.

In der zweiten Abbildung wurden die Werte der Parameter weiter in die Mitte des Intervalls $[0;1]$ verschoben. Die berechnete Bézierkurve befindet sich nun weiter im Inneren des Polygons. Die Einschränkung, dass die Parameter $d_{i,j}$ nicht negativ sein dürfen, führt hier zu einer gleichmäßigen Approximation des Polygons. Je weiter die Werte der Parameter $x_1$ und $x_2$ in Innere des Intervalls verschoben werden, desto mehr kann die Bézierkurve ins Innere des Polygons verschoben werden.

Die dritte Abbildung zeigt die sich ergebende Bézierkurve, wenn die Werte der Parameter gleich gewählt werden. Das Polygon wurde im Vergleich zu den vorhergehenden Bézierkurven nicht gleichmäßig approximiert. Die Parameter verlieren bei der gleichmäßigen Verteilung der Abstände an Einfluss. Die Summe der Abstände ist hier geringer, aber die Varianz der Abstände ist wesentlich höher. Auf den Fall der Approximation von Isolinien übertragen, zeigt sich Folgendes. Liegen die berechneten Polygone, nahe aneinander, kann eine hohe Varianz zur Überschneidung von Bézierkurven führen (siehe Abbildung 32). Eine scheinbar schlechtere Approximation, die eine geringere Varianz besitzt, verringert das Risiko einer solchen Überschneidung. Andererseits kann eine Wahl der Parameter, die zu nahe an den Grenzen liegt zu anderweitigen Überschneidungen führen (siehe ebenfalls Abbildung 32).

Abbildung 32: Hohe Varianz der Abstände

In der vierten Abbildung ist gezeigt, wie sich eine Wahl der Parameter auswirkt, bei der beide Werte nahe dem Wert Null sind. Da die Parameter $x_1$ und $x_2$ Einfluss auf die Parameter $t_i$ nehmen, führt diese Wahl der Werte der Parameter $x_1$ und $x_2$ dazu, dass der Wert des Parameters $t_i$ klein bleibt. Als Konsequenz ergibt sich, da die Werte nicht gleichmäßig auf dem Intervall $[1;0]$ verteilt sind, dass die gleichmäßige Approximation verloren geht.

Anhand dieser Beispiele muss der Benutzer die Wahl der Parameter auf die gegebene Situation abstimmen. Dabei ist zwischen geringer Abweichung und geringer Varianz zu wählen. Im Test der Implementation, haben sich die Werte $\frac{1}{5}$ und $\frac{4}{5}$ , bewährt.